Deneysel Bir Lambanın LED Işık Akılarını İncelemek İçin Gauss ve Parabol: 6 Adım

2024 Yazar: John Day | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-30 13:17

Tüm yapımcılara ve hareketli Instructable topluluğuna merhaba.

Bu sefer Merenel Research size saf bir araştırma problemi ve onu matematikle çözmenin bir yolunu getirecek.

Yaptığım (ve nasıl yapılacağını öğreteceğim) bir RGB LED lambanın LED akılarını hesaplarken bu sorunu kendim yaşadım. Kapsamlı bir şekilde çevrimiçi baktıktan sonra bir cevap bulamadım, bu yüzden çözümü burada yayınlıyorum.

SORUN

Fizikte sıklıkla Gauss dağılımının şekline sahip eğrilerle uğraşmak zorundayız. Evet! Olasılığı hesaplamak için kullanılan çan şeklindeki eğridir ve bize büyük matematikçi Gauss'tan getirilmiştir.

Gauss eğrisi, gerçek hayattaki fizik uygulamalarında, özellikle bir kaynaktan yayılan veya bir alıcıdan alınan radyasyonla uğraşmamız gerektiğinde yaygın olarak kullanılır, örneğin:

- bir radyo sinyalinin gücünün emisyonu (örneğin Wi-Fi);

- bir LED'den yayılan ışık akısı;

- bir fotodiyotun okunması.

Üretici veri sayfasında, genellikle spektrumun belirli bir bölümündeki (örneğin bir LED'in) toplam ışıma gücü veya ışık akısı olan Gauss alanının gerçek değeri verilir, ancak gerçek ışımayı hesaplamak zorlaşır. eğrinin zirvesinde yayılır veya örneğin birden fazla LED ile aydınlatıyorsak (örneğin Mavi ve Yeşil) iki yakın kaynağın örtüşen radyasyonunu bilmek daha da zordur.

Bu Eğitilebilir makalede, Gauss'a kavranması daha kolay bir eğri ile nasıl yaklaşılacağını açıklayacağım: bir parabol. Şu soruya cevap vereceğim: Bir Parabolde kaç tane Gauss eğrisi var?

SPOILER → CEVAP:

Gauss alanı her zaman 1 birimdir.

Aynı tabana ve yüksekliğe sahip karşılık gelen parabolün alanı, göreceli Gauss alanından 2.13 kat daha büyüktür (grafik gösterim için resme bakın).

Yani bir Gauss parabolünün %46,94'üne eşittir ve bu ilişki her zaman doğrudur.

Bu iki sayı bu şekilde ilişkilidir 0.46948=1/2.13, bu bir Gauss eğrisi ile parabol arasındaki katı matematiksel ilişkidir ve bunun tersi de geçerlidir.

Bu kılavuzda, bunu adım adım keşfetmeniz için size yol göstereceğim.

İhtiyacımız olan tek araç, grafikler çizmek için harika bir çevrimiçi matematiksel araç olan Geogebra.org.

Bir parabol ile Gauss'u karşılaştırmak için yaptığım Geogebra grafiği bu linkte bulunabilir.

Bu talimat uzun, çünkü bir gösteri ile ilgili, ancak LED ışık akıları veya örtüşen Gauss eğrileri olan başka bir fenomen ile yaşadığım aynı sorunu çabucak çözmeniz gerekiyorsa, lütfen sadece adımda ekli bulacağınız elektronik tabloya atlayın. Hayatınızı kolaylaştıracak ve tüm hesaplamaları sizin için otomatik olarak yapacak olan bu rehberin 5.

Umarım uygulamalı matematiği seversiniz çünkü bu talimat bununla ilgili.

Adım 1: Tek Renkli LED'den Yayılan Işığı Anlama

Bu analizde, spektrum grafiklerinden (ilk resim) açıkça görebileceğiniz gibi, bir dizi renkli LED'i ele alacağım. genellikle bu özelliği verir). Ancak, bu çizelgedeki temsilin tek bir güç ünitesindeki tüm spektrumları normalleştirdiğini, ancak LED'lerin ne kadar verimli üretildiğine ve ne kadar elektrik akımı (mA) beslediğinize göre farklı güçlere sahip olduğunu düşünün.

Gördüğünüz gibi, bazen iki LED'in ışık akısı spektrumda çakışır. Diyelim ki, bu eğrilerin örtüşen alanını kolayca hesaplamak istiyorum, çünkü o alanda iki kat güç olacak ve orada lümen (lm) cinsinden ne kadar güce sahip olduğumuzu bilmek istiyorum. Bu kılavuzda yanıtlamaya çalışacağımız kolay bir görev. Sorun ortaya çıktı çünkü deneysel lambayı oluştururken Mavi ve Yeşil spektrumun ne kadar örtüştüğünü gerçekten bilmek istiyordum.

Sadece spektrumun dar bir bölümünde yayılan monokromatik LED'lere odaklanacağız. Tabloda: KRALİYET MAVİ, MAVİ, YEŞİL, TURUNCU-KIRMIZI, KIRMIZI. (Yaptığım asıl lamba RGB)

FİZİK ARKA PLAN

Biraz geri saralım ve önce biraz fizik açıklaması yapalım.

Her LED'in bir rengi vardır veya daha bilimsel olarak, onu belirleyen ve nanometre (nm) cinsinden ölçülen bir dalga boyuna (λ) ve f'nin fotonun salınım frekansı olduğu λ=1/f'ye sahip olduğunu söyleyebiliriz.

Yani KIRMIZI dediğimiz şey temelde 630 nm'de salınan (büyük) bir foton demetidir, bu fotonlar maddeye çarpar ve reseptör görevi gören gözlerimizde sıçrar ve sonra beyniniz nesnenin rengini KIRMIZI olarak işler; veya fotonlar doğrudan gözlerinize girebilir ve onları yayan LED'in KIRMIZI renkte parladığını görürsünüz.

Işık dediğimiz şeyin aslında Elektromanyetik Spektrumun 380nm ile 740nm arasındaki küçük bir kısmı olduğu keşfedildi; yani ışık bir elektromanyetik dalgadır. Spektrumun bu kısmı hakkında merak uyandıran şey, spektrumun sudan daha kolay geçen kısmı olmasıdır. Bil bakalım ne oldu? İlkel Çorbadan gelen eski atalarımız, aslında suda ve ilk, daha karmaşık canlı varlıkların gözlerini geliştirmeye başladığı yerdedir. Işığın ne olduğunu daha iyi anlamak için Kurzgesagt'ın eklediğim videosunu izlemenizi öneririm.

Özetlemek gerekirse, bir LED, belirli bir dalga boyunda (nm) belirli bir miktar radyometrik güç (mW) olan ışık yayar.

Genellikle, görünür ışıkla uğraşırken, radyometrik güçten (mW) değil, insan gözlerinin görünür ışığa tepkisinde tartılan bir ölçü birimi olan ışık akısından (lm) bahsediyoruz. kandela ölçü birimidir ve lümen (lm) cinsinden ölçülür. Bu sunumda LED'lerden yayılan lümenleri ele alacağız ancak her şey mW için aynı ölçüde geçerli olacaktır.

Herhangi bir LED veri sayfasında üretici size şu bilgileri verecektir:

Örneğin, ekli bu veri sayfasından, her iki led'i de 100mA ile çalıştırırsanız, şunlara sahip olduğunuzu görürsünüz:

MAVİ, 480nm'dedir ve 11lm ışık akısına sahiptir;

YEŞİL, 530nm'dedir ve 35lm ışık akısına sahiptir.

Bu, Gauss Mavi Eğrisinin daha uzun olacağı, genişliğinde değişiklik yapmadan daha fazla yükseleceği ve mavi çizgi ile sınırlanan kısım etrafında salınacağı anlamına gelir. Bu yazıda, sadece spektrumun o kısmında yayılan gücü değil, LED tarafından yayılan tam tepe gücünü ifade eden Gauss'un yüksekliğinin nasıl hesaplanacağını açıklayacağım, ne yazık ki bu değer daha düşük olacaktır. Ayrıca, spektrumda "komşu" olan LED'lerle uğraşırken ne kadar ışık akısının örtüştüğünü anlamak için iki LED'in örtüşen kısmına yaklaşmaya çalışacağım.

LED'lerin akışını ölçmek çok karmaşık bir konudur, daha fazlasını öğrenmek istiyorsanız Osram tarafından işlerin nasıl yapıldığını açıklayan ayrıntılı bir makale yükledim.

Adım 2: Parabole Giriş

Okulda kapsamlı olarak incelendiği için parabolün ne olduğu hakkında fazla ayrıntıya girmeyeceğim.

Bir parabolün denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDES BİZE YARDIMCI OLUR

Altını çizmek istediğim Arşimet'in önemli bir geometrik teoremi. Teoremin söylediği, bir dikdörtgende sınırlı bir parabolün alanının dikdörtgenin alanının 2/3'üne eşit olduğudur. Parabollü ilk resimde mavi alanın 2/3 ve pembe alanların dikdörtgenin alanının 1/3'ü olduğunu görebilirsiniz.

Parabolün üç noktasını bilerek parabol ve denklemini hesaplayabiliriz. Bizim durumumuzda köşeyi hesaplayacağız ve x ekseni ile kesişimleri biliyoruz. Örneğin:

MAVİ LED Tepe(480, ?) Tepenin Y'si, tepe dalga boyunda yayılan ışık gücüne eşittir. Bunu hesaplamak için bir Gauss alanı (LED tarafından yayılan gerçek akı) ile bir parabolün alanı arasındaki ilişkiyi kullanacağız ve bu parabolü içeren dikdörtgenin yüksekliğini bilmek için Arşimet teoremini kullanacağız.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

PARABOLİK MODEL

Yüklediğim resme baktığınızda, birkaç farklı LED ışık akısını parabollerle temsil etmek için karmaşık bir model görebilirsiniz, ancak temsillerinin tam olarak böyle olmadığını biliyoruz çünkü daha çok bir Gauss'u andırıyor.

Bununla birlikte, parabollerle, matematik formüllerini kullanarak birkaç parabolün tüm kesişme noktalarını bulabilir ve kesişen alanları hesaplayabiliriz.

5. adımda, monokromatik LED'lerin tüm parabollerini ve kesişen alanlarını hesaplamak için tüm formülleri koyduğum bir elektronik tablo ekledim.

Genellikle, bir LED'in Gauss tabanı büyük 66nm'dir, bu nedenle baskın dalga boyunu biliyorsak ve LED radyasyonunu bir parabol ile yaklaşık olarak hesaplarsak, bağıl parabolün x eksenini λ+33 ve λ-33'te keseceğini biliyoruz.

Bu, parabol ile toplam yayılan bir LED ışığına yaklaşan bir modeldir. Ancak, kesin olmak istiyorsak bunun tam olarak doğru olmadığını biliyoruz, bizi bir sonraki adıma getiren bir Gauss eğrisi kullanmamız gerekecek.

Adım 3: Gauss Eğrisine Giriş

Bir Gauss, bir parabolden daha karmaşık görünecek bir eğridir. Hataları yorumlamak için Gauss tarafından icat edildi. Aslında bu eğri, bir olgunun olasılıksal dağılımını görmek için çok yararlıdır. Ortalamadan sola veya sağa doğru hareket ettiğimiz sürece, daha az sıklıkta belirli bir fenomene sahibiz ve son resimden de görebileceğiniz gibi bu eğri, gerçek yaşam olaylarının çok iyi bir tahminidir.

Gauss formülü, ikinci resim olarak gördüğünüz ürkütücü formüldür.

Gauss özellikleri şunlardır:

- ortalamaya göre simetriktir;

- x = μ sadece aritmetik ortalama ile değil, aynı zamanda medyan ve mod ile de örtüşür;

- her tarafta x ekseninde asimptotiktir;

- xμ için azalır;

- x = μ-σ'da iki bükülme noktasına sahiptir;

- eğrinin altındaki alan 1 birimdir (herhangi bir x'in doğrulama olasılığıdır)

σ standart sapmadır, sayı ne kadar büyükse Gauss tabanı o kadar geniştir (ilk resim). Eğer bir değer 3σ kısmındaysa, bunun gerçekten ortalamadan uzaklaştığını ve gerçekleşmesi için daha az olasılık olduğunu biliriz.

Bizim durumumuzda, LED'lerle, belirli bir dalga boyu zirvesinde (ortalama olan) üretici veri sayfasında verilen ışık akısı olan Gauss alanını biliyoruz.

Adım 4: Geogebra ile Gösterim

Bu bölümde, bir parabolün Gauss değerinin 2.19 katı olduğunu göstermek için Geogebra'yı nasıl kullanacağınızı göstereceğim.

Öncelikle, kaydırıcı komutuna tıklayarak birkaç değişken oluşturmanız gerekir:

Standart sapma σ=0.1 (standart sapma Gauss eğrisinin ne kadar geniş olduğunu tanımlar, bir LED spektral güç dağılımını simüle etmek için onu daraltmak istediğim için küçük bir değer koydum)

Ortalama 0'dır, bu nedenle Gauss, çalışmanın daha kolay olduğu y ekseni üzerine kuruludur.

İşlev bölümünü etkinleştirmek için küçük dalga işlevine tıklayın; orada fx'e tıklayarak Gauss formülünü girebilirsiniz ve ekranda güzel, uzun bir Gauss Eğrisi belirdiğini göreceksiniz.

Grafiksel olarak, eğrinin x ekseni üzerinde nerede yakınsadığını, benim durumumda X1(-0.4;0) ve X2(+0.4;0) ve tepe noktasının V(0;4) olduğu yeri göreceksiniz.

Bu üç nokta ile parabolün denklemini bulmak için yeterli bilgiye sahipsiniz. Elle hesaplama yapmak istemiyorsanız, bir sonraki adımda bu web sitesini veya elektronik tabloyu kullanmaktan çekinmeyin.

Az önce bulduğunuz parabol işlevini doldurmak için işlev komutunu (fx) kullanın:

y=-25x^2 +4

Şimdi bir parabolde kaç tane Gauss olduğunu anlamamız gerekiyor.

function komutunu kullanmanız ve Integral (veya benim durumumda Integrale, İtalyanca sürümünü kullandığım gibi) komutunu eklemeniz gerekecek. Belirli integral, x değerleri arasında tanımlanan bir fonksiyonun alanını hesaplamamızı sağlayan matematiksel işlemdir. Belirli bir integralin ne olduğunu hatırlamıyorsanız, burayı okuyun.

a=İntegral(f, -0.4, +0.4)

Bu Geogebra formülü, f fonksiyonunun, Gauss'un -0.4 ile +0.4 arasındaki tanımlı integralini çözecektir. Bir Gauss ile uğraştığımız için alanı 1'dir.

Aynısını parabol için yapın ve sihirli sayı 2.13'ü keşfedeceksiniz. LED'lerle tüm ışık akısı dönüşümlerini yapmak için anahtar sayı budur.

Adım 5: LED'lerle Gerçek Hayat Örneği: Akı Zirvesini ve Örtüşen Akıları Hesaplama

ZİRVEDEKİ IŞIK AKISI

LED akı dağılımının karıştırılan Gauss eğrilerinin gerçek yüksekliğini hesaplamak, dönüşüm faktörü 2.19'u keşfettiğimize göre artık çok kolay.

Örneğin:

MAVİ LED, 11lm ışık akısına sahiptir

- bu akıyı Gauss'tan parabolik 11 x 2.19 = 24.09'a çeviririz

- 24.09 x 3/2 = 36.14 parabolünü içeren göreli dikdörtgen alanını hesaplamak için Arşimet Teoremini kullanıyoruz

- MAVİ LED için Gauss tabanı için bölen bu dikdörtgenin yüksekliğini, veri sayfasında verilen veya veri sayfası grafiğinde görülen, genellikle 66nm civarında buluyoruz ve bu, 480nm zirvesindeki gücümüz: 36.14 / 66= 0,55

Örtüşen IŞIK AKISI ALANLARI

İki örtüşen radyasyonu hesaplamak için aşağıdaki iki LED ile bir örnekle açıklayacağım:

MAVİ 480nm'de ve 11lm ışık akısı varYEŞİL 530nm'de ve 35lm ışık akısı var

Her iki Gauss eğrisinin -33nm ve +33nm'de yakınsadığını biliyoruz ve grafikten görüyoruz, dolayısıyla şunu biliyoruz:

- MAVİ, x eksenini 447nm ve 531nm'de kesiyor

- YEŞİL, x eksenini 497nm ve 563nm'de keser

İlkinin bir ucunun diğerinin başlangıcından sonra (531nm>497nm) olduğu için iki eğrinin kesiştiğini açıkça görüyoruz, bu yüzden bu iki LED'in ışığı bazı noktalarda örtüşüyor.

Öncelikle her ikisi için de parabol denklemini hesaplamamız gerekiyor. Ekli elektronik tablo, hesaplamalarda size yardımcı olmak için oradadır ve x ekseni kesişen noktaları ve tepe noktasını bilen iki parabolü belirlemek için denklem sistemini çözmek için formülleri gömmüştür:

MAVİ parabol: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

YEŞİL parabol: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

her iki durumda da a>0 ve, yani parabol doğru bir şekilde baş aşağıyı gösteriyor.

Bu parabollerin doğru olduğunu kanıtlamak için bu parabol hesaplayıcı web sitesindeki köşe hesaplayıcıda a, b, c'yi doldurmanız yeterlidir.

Elektronik tabloda, paraboller arasındaki kesişme noktalarını bulmak ve bu parabollerin kesişen alanlarını elde etmek için belirli integrali hesaplamak için tüm hesaplar zaten yapılmıştır.

Bizim durumumuzda mavi ve yeşil LED spektrumlarının kesişen alanları 0.4247'dir.

Kesişen parabollere sahip olduğumuzda, Gauss çarpanı 0.4694 için bu yeni kurulan kesişen alanı çarpabiliriz ve spektrumun o bölümünde LED'lerin toplamda ne kadar güç yaydığına dair çok yakın bir tahmin bulabiliriz. Bu bölümde yayılan tek LED akısını bulmak için 2'ye bölmeniz yeterlidir.

Adım 6: Deneysel Lambanın Monokromatik LED'lerinin Çalışması Artık Tamamlandı

Bu araştırmayı okuduğunuz için çok teşekkür ederim. Bir lambadan ışığın nasıl yayıldığını derinlemesine anlamanız için umarım faydalı olur.

Üç tip monokromatik LED ile yapılmış özel bir lambanın LED'lerinin akılarını inceliyordum.

Bu lambayı yapmak için "malzemeler" şunlardır:

- 3 LED MAVİ

- 4 LED YEŞİL

- 3 LED KIRMIZI

- LED devre dallarındaki akımı sınırlamak için 3 direnç

- 12V 35W güç kaynağı

- Kabartmalı Akrilik Kapak

- OSRAM OT BLE DIM kontrolü (Bluetooth LED kontrol ünitesi)

- Alüminyum soğutucu

- M5 kalın ve somun ve L parantez

Akıllı telefonunuzdan Casambi APP ile her şeyi kontrol edin, her LED kanalını ayrı ayrı açıp kısabilirsiniz.

Lambayı inşa etmek çok basittir:

- LED'i çift taraflı bantla soğutucuya yapıştırın;

- tüm BLU LED'lerini bir dirençle seri olarak lehimleyin ve devrenin her bir dalı için diğer renkle aynı şeyi yapın. Seçeceğiniz LED'lere göre (Lumileds LED kullandım) direnç boyutunu LED'e ne kadar akım besleyeceğinize ve 12V güç kaynağının verdiği toplam gerilime göre seçmeniz gerekecek. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız, bir dizi LED'in akımını sınırlamak için bir direncin boyutunun nasıl belirleneceğiyle ilgili bu harika talimatı okumanızı öneririm.

- kabloları Osram OT BLE'nin her bir kanalına bağlayın: LED'lerin dallarının tüm ana pozitifleri ortak (+) ve dalların üç negatifi sırasıyla -B (mavi) -G (yeşil)) -R (kırmızı).

- Güç kaynağını Osram OT BLE girişine bağlayın.

Şimdi Osram OT BLE ile ilgili harika olan şey, senaryolar oluşturabilmeniz ve LED kanallarını programlayabilmeniz, videonun ilk bölümünde gördüğünüz gibi üç kanalı kısıyorum ve videonun ikinci bölümünde bazılarını kullanıyorum. önceden hazırlanmış ışık senaryoları.

SONUÇLAR

Bu lambaların akılarının nasıl yayılacağını derinlemesine anlamak için matematiği yoğun bir şekilde kullandım.

Umarım bugün faydalı bir şeyler öğrenmişsinizdir ve bunun gibi daha fazla derin uygulamalı araştırma vakasını öğretilebilir hale getirmek için elimden gelenin en iyisini yapacağım.

Anahtar kelime araştırmak!

Elveda!

Pietro