Brakhistokron Eğrisi: 18 Adım (Resimlerle)

2024 Yazar: John Day | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-30 13:18

Brakhistokron eğrisi, farklı yüksekliklerde bulunan iki A ve B noktası arasındaki en hızlı yolu türeten klasik bir fizik problemidir. Bu problem basit gibi görünse de, sezgisel olmayan bir sonuç sunar ve bu nedenle izlemesi büyüleyicidir. Bu talimatta, teorik problem hakkında bilgi edinilecek, çözümü geliştirecek ve sonunda bu şaşırtıcı fizik ilkesinin özelliklerini gösteren bir model oluşturacaksınız.

Bu proje, lise öğrencilerinin teori derslerinde ilgili kavramları işleyerek yapmaları için tasarlanmıştır. Bu uygulamalı proje, yalnızca konuyu kavramalarını güçlendirmekle kalmaz, aynı zamanda geliştirilecek diğer birçok alanın bir sentezini de sunar. Örneğin, modeli oluştururken öğrenciler Snell yasası, bilgisayar programlama, 3d modelleme, dijital parçalama ve temel ahşap işleme becerileri ile optik hakkında bilgi edineceklerdir. Bu, tüm sınıfın işi kendi aralarında bölerek katkıda bulunmasına izin vererek, bir ekip çalışması haline getirir. Bu projeyi yapmak için gereken süre yaklaşık bir haftadır ve daha sonra sınıfa veya daha genç öğrencilere gösterilebilir.

STEM yoluyla öğrenmenin daha iyi bir yolu yoktur, bu yüzden kendi çalışan brakhistokron modelinizi yapmak için devam edin. Projeyi beğendiyseniz, sınıf yarışmasında oy verin.

Adım 1: Teorik Problem

Brakhistokron problemi, farklı yüksekliklerde bulunan A ve B noktalarını birleştiren bir eğri bulma etrafında dönen bir problemdir, öyle ki B doğrudan A'nın altında değildir, böylece bu yol boyunca düzgün bir yerçekimi alanının etkisi altında bir bilye düşürmek mümkün olan en kısa sürede B'ye ulaşın. Sorun, Johann Bernoulli tarafından 1696'da ortaya atıldı.

Johann Bernoulli, Haziran 1696'da Avrupa'nın Almanca konuşulan topraklarının ilk bilimsel dergilerinden Acta Eruditorum okuyucularına brakhistokron problemini sorduğunda, 5 matematikçiden cevaplar aldı: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ve Guillaume de l'Hôpital'in her birinin benzersiz yaklaşımları var!

Uyarı: Aşağıdaki adımlar yanıtı içerir ve bu en hızlı yolun ardındaki güzelliği ortaya çıkarır. Bir dakikanızı ayırın ve bu problem hakkında düşünün, belki siz de bu beş dahiden biri gibi çözebilirsiniz.

Adım 2: Göstermek için Snell Yasasını Kullanma

Brakhistokron problemini çözme yaklaşımlarından biri, problemi Snell Yasası ile analojiler kurarak çözmektir. Snell Yasası, bir ışık huzmesinin iki farklı ortamdan geçerken bir noktadan diğerine gitmek için izleyeceği yolu, bir ışık huzmesinin her zaman en hızlı yolu izleyeceğini söyleyen Fermat ilkesini kullanarak tanımlamak için kullanılır. Bu denklemin resmi bir türevi aşağıdaki bağlantıyı ziyaret ederek bulunabilir.

Yerçekimi alanının etkisi altında serbest düşen bir nesne, değişen ortamdan geçen bir ışık huzmesi ile karşılaştırılabileceğinden, ışık huzmesi yeni bir ortamla her karşılaştığında, huzme hafifçe sapar. Bu sapmanın açısı Snell yasası kullanılarak hesaplanabilir. Işın, ışının basitçe yansıtıldığı kritik açıya ulaşana kadar, sapmış ışık huzmesinin önüne indirgeyici yoğunluk katmanları eklemeye devam ederken, ışının yörüngesi brakhistokron eğrisini tanımlar. (yukarıdaki şemadaki kırmızı eğri)

Brakhistokron eğrisi aslında bir sikloiddir ve tekerlek kaymadan düz bir çizgi boyunca yuvarlanırken dairesel bir tekerleğin kenarındaki bir nokta tarafından izlenen eğridir. Bu nedenle, eğriyi çizmemiz gerekirse, onu oluşturmak için yukarıdaki yöntemi kullanabiliriz. Eğrinin bir başka benzersiz özelliği, eğrinin herhangi bir noktasından serbest bırakılan bir topun dibe ulaşmasının tam olarak aynı süreyi almasıdır. Aşağıdaki adımlar, bir model oluşturarak bir sınıf deneyi yapma sürecini açıklar.

Adım 3: Pratik Deney Modeli

Model, bilyeler için iz görevi gören lazer kesim yollarından oluşuyor. Brakhistokron eğrisinin A noktasından B noktasına en hızlı yol olduğunu göstermek için onu diğer iki yolla karşılaştırmaya karar verdik. Pek çok kişi sezgisel olarak en kısa kısmın en hızlısı olduğunu hissedeceğinden, ikinci yol olarak her iki noktayı birleştiren düz bir eğim koymaya karar verdik. Üçüncüsü, ani düşüşün geri kalanı yenmek için yeterli hız üreteceğini hissedeceğinden dik bir eğridir.

Üç brakhistokron yolu üzerinde farklı yüksekliklerden topların bırakıldığı ikinci deney, topların aynı anda ulaşmasıyla sonuçlanır. Bu nedenle modelimiz, akrilik paneller arasında kolay değiştirilebilirlik sağlayan, her iki deneyi de gerçekleştirmeyi sağlayan 3d baskılı kılavuzlara sahiptir.

Son olarak, serbest bırakma mekanizması, topların birlikte düşmesini sağlar ve alttaki zamanlama modülü, toplar dibe ulaştığında zamanlamaları kaydeder. Bunu başarmak için, toplar onu tetiklediğinde etkinleştirilen üç limit anahtarı yerleştirdik.

Not: Bu tasarımı kopyalayıp kartondan veya kolayca bulunabilecek diğer malzemelerden yapabilirsiniz.

Adım 4: Gerekli Malzemeler

İşte brakhistokron deneyinin çalışan bir modelini yapmak için gerekli parçalar ve malzemeler

DONANIM:

1" Çam Ahşap Tahta - boyutlar; 100cm x 10cm

Neodimyum Magnetx 4 - boyutlar; 1 cm çap ve 0,5 cm yükseklik

3D Baskı Filament - PLA veya ABS iyi

M3 Dişli Ek x 8 - (isteğe bağlı)

M3 Cıvata x 8 - 2.5 cm uzunluğunda

Ahşap Vida x 3 - 6cm uzunluğunda

Ahşap Screwx 12 - 2.5cm uzunluğunda

ELEKTRONİK:

Arduino Uno'su

Limit Switchx 4- bu switchler zamanlama sistemi olarak görev yapacaktır

Butona basınız

LCD ekran

Zıplama teli x birçok

Modelin toplam maliyeti 3 0$ civarına geldi.

Adım 5: 3D Baskı

Serbest bırakma mekanizması ve kontrol kutusu gibi birçok parça 3d yazıcı yardımı ile yapılmıştır. Aşağıdaki liste, toplam parça sayısını ve bunların yazdırma özelliklerini içerir. Tüm STL dosyaları, gerektiğinde gerekli değişiklikleri yapmasına izin veren, yukarıda ekli bir klasörde sağlanır.

Kontrol Kutusu x 1, 20% dolgu

Kılavuz x 6, %30 dolgu

Son Durdurma x 1, %20 dolgu

Pivot Kol x 1, %20 dolgu

Pivot Montaj x 1, %30 dolgu

Serbest Bırakma Parçası x 1, %20 dolgu

Parçalar üzerinde özel bir stres olmadığından parçalar PLA'da basılmıştır. Toplamda yaklaşık 40 saat baskı aldı.

Adım 6: Yolları Lazerle Kesme

fusion 360 üzerinde tasarladığımız çeşitli yollar.dxf dosyaları olarak dışa aktarıldı ve ardından lazerle kesildi. Eğrileri yapmak için 3 mm kalınlığında opak beyaz akrilik seçtik. El aletleriyle tahtadan bile yapılabilir, ancak esneklik topların yuvarlanma şeklini etkileyebileceğinden seçilen malzemenin sert olmasını sağlamak önemlidir.

6 x Brakhistokron Eğrisi

2 x Dik Eğri

2 x Düz Eğri

Adım 7: Ahşabı Kesmek

Modelin çerçevesi ahşaptan yapılmıştır. 1 "x 4" çamı seçtik, çünkü bir önceki projeden kalan bir kısmımız vardı, ancak biri kendi seçtikleri bir ahşabı kullanabilir. Daire testere ve kılavuz kullanarak iki parça odun kesiyoruz:

yolun uzunluğu olan 48cm

31cm olan yüksekliktir

Disk zımparada hafifçe zımparalayarak pürüzlü kenarları temizledik.

Adım 8: Delikleri Delme

İki parçayı birbirine vidalamadan önce, alt parçanın bir ucunda ahşabın kalınlığını işaretleyin ve eşit mesafedeki üç deliği ortalayın. Her iki tahta parçası üzerinde bir pilot delik oluşturmak için 5 mm'lik bir uç kullandık ve vida başının aynı hizada sürülmesini sağlamak için alt parçadaki deliği havşa açtık.

Not: Uç damarı deleceğiniz için dikey tahta parçasını ayırmamaya dikkat edin. Ayrıca, kaldıraç nedeniyle çerçevenin ve üst kısmının sallanmaması önemli olduğundan uzun ağaç vidaları kullanın.

9. Adım: Soğutucuları ve Mıknatısları Gömme

3d baskılı parçalardaki iplikler zamanla aşınma eğilimi gösterdiğinden, ısı alıcıları yerleştirmeye karar verdik. Delikler, ısı emicinin plastiği daha iyi kavramasını sağlamak için biraz küçük. Deliklerin üzerine M3 soğutucu yerleştirdik ve bir havya ucuyla içeri ittik. Isı, plastiği eriterek dişlerin kendi kendine geçmesine izin verir. Yüzeyle aynı hizada olduklarından ve dik olarak içeri girdiklerinden emin olun. Dişli ekler için toplam 8 nokta vardır: 4 kapak için ve 4 Arduino Uno'yu monte etmek için.

Zamanlama ünitesinin montajını kolaylaştırmak için kutuya mıknatıslar yerleştirdik ve değişiklik gerektiğinde kolayca çıkarılmasını sağladık. Mıknatısların yerine itilmeden önce aynı yöne yönlenmesi gerekir.

Adım 10: Limit Anahtarlarını Takma

Üç limit anahtarı, yolların alt kısmına bakan zamanlama ünitesinin bir tarafına bağlanmıştır. Böylece toplar düğmelere tıkladıkça, hangi topun önce ulaştığı belirlenebilir ve zamanlama bir LCD ekranda görüntülenebilir. Küçük kablo şeritlerini terminallere lehimleyin ve sürekli darbelerden sonra gevşememeleri gerektiği için bir miktar CA tutkalı ile yuvalara sabitleyin.

Adım 11: LCD Ekran

Zamanlama ünitesinin kapağı, lcd ekran için dikdörtgen bir oyuğa ve "başlat" düğmesi için bir deliğe sahiptir. Ekranı, kapağın yüzeyiyle aynı hizaya gelene kadar sıcak tutkalla sabitledik ve kırmızı düğmeyi montaj somunuyla sabitledik.

Adım 12: Elektroniği Kablolama

Kablolama, çeşitli bileşenlerin Arduino'daki doğru pinlere bağlanmasından oluşur. Kutuyu kurmak için yukarıda ekli kablo şemasını izleyin.

Adım 13: Kodu Yükleme

Brachistochrone projesi için Arduino kodu aşağıda ekte bulunabilir. Arduino'nun programlama portuna ve güç jakına kolay erişim için elektronik bölmesinde iki açıklık vardır.

Kutunun üstüne iliştirilen kırmızı düğme, zamanlayıcıyı başlatmak için kullanılır. Mermerler eğrileri aşağı kaydırıp altta bulunan limit anahtarlarını tetikledikten sonra zamanlamalar sırayla kaydedilir. Üç topun tümü vurulduktan sonra, LCD ekran sonuçları ilgili eğrilerle hizalanmış olarak görüntüler (yukarıdaki resimler eklenmiştir). İkinci bir okumanın gerekmesi durumunda sonuçları not ettikten sonra, zamanlayıcıyı yenilemek ve aynı işlemi tekrarlamak için ana düğmeye tekrar basmanız yeterlidir.

Adım 14: 3B Yazdırma Kılavuzları

3d basılan kılavuzlar, destek duvarları başlamadan önce 3 mm'lik bir malzeme tabanına sahipti. Bu nedenle akrilik paneller yerine kaydırıldığında panel ile ahşap çerçeve arasında bir boşluk oluşacak ve yolun sabitliğini azaltacaktır.

Bu nedenle kılavuzun ahşaba 3 mm gömülmesi gerekiyordu. Yönlendiricimiz olmadığı için yerel bir atölyeye götürdük ve bir freze makinesinde yaptırdık. Biraz zımparalamadan sonra baskılar yerine oturdu ve yandan ahşap vidalarla sabitleyebildik. Yukarıda, 6 kılavuzun ahşap çerçeve üzerine yerleştirilmesi için bir şablon verilmiştir.

Adım 15: Durdurucu ve Zamanlama Biriminin Eklenmesi

Zamanlama modülü ayrı bir sistem olduğu için mıknatıslar kullanarak hızlı bir montaj ve sökme sistemi yapmaya karar verdik. Bu şekilde, basitçe üniteyi çıkararak kolayca programlanabilir. Ahşabın içine gömülmesi gereken mıknatısların konumunu aktarmak için bir şablon yapmak yerine, kutunun üzerindekilere bağlanmasına izin verdikten sonra biraz tutkal koyup kutuyu tahta parçasının üzerine yerleştirdik. Tutkal izleri ahşaba aktarılarak doğru noktalardaki delikleri hızlı bir şekilde delmemizi sağladı. Son olarak 3 boyutlu baskılı durdurucuyu takın ve zamanlama ünitesi tam olarak oturmalı ancak hafif bir çekme ile ayrılabilmelidir.

Adım 16: Serbest Bırakma Mekanizması

Serbest bırakma mekanizması basittir. C bölümünü pivot kola sıkıca bağlamak için bir somun ve cıvata kullanarak onları tek bir güvenli parça haline getirin. Ardından dikey ahşabın ortasına iki delik açın ve montajı takın. Döner bir mil kaydırın ve mekanizma tamamlandı.

Adım 17: Deney

Artık model hazır olduğuna göre aşağıdaki deneyler yapılabilir.

deney 1

Düz yolun, brakhistokron eğrisinin ve dik yolun akrilik panellerini dikkatlice kaydırın (en iyi etki için bu sırayla). Ardından mandalı yukarı çekin ve üç bilyeyi birbirleriyle mükemmel şekilde hizalandığından emin olarak eğrinin üstüne yerleştirin. Mandal aşağı gelecek şekilde sıkıca yerinde tutun. Bir öğrencinin topları bırakmasını ve diğerinin zamanlama sistemini başlatmak için kırmızı düğmeye basmasını sağlayın. Son olarak, topların yoldan aşağı yuvarlandığını gözlemleyin ve zamanlama modülünde görüntülenen sonuçları analiz edin. Ağır çekim görüntüleri kaydetmek için bir kamera kurmak, yarış kare kare görülebildiğinden daha da heyecan verici.

deney 2

Akrilik panellerdeki önceki deney slaydı gibi, ancak bu sefer tüm yolların brakistonkron eğrisi olması gerekiyor. Bir öğrenciden bu kez üç topu dikkatlice farklı yüksekliklerde tutmasını isteyin ve toplar serbest bırakılırken kırmızı düğmeye basın. Toplar bitiş çizgisinden önce mükemmel bir şekilde sıralanırken şaşırtıcı anı izleyin ve sonuçlarla gözlemleri onaylayın.

Adım 18: Sonuç

Brachistochrone modelinin yapımı, bilimin işlediği sihirli yolları görmenin uygulamalı bir yoludur. Deneyleri izlemesi ve ilgi çekici olması sadece eğlenceli olmakla kalmaz, aynı zamanda öğrenme yönlerinin bir sentezini de sunar. Hem pratik hem de teorik olarak öncelikle lise öğrencilerine yönelik bir proje olsa da, bu gösteri küçük çocuklar tarafından kolayca kavranabilir ve basitleştirilmiş bir sunum olarak gösterilebilir.

İnsanları başarılı ya da başarısız bir şeyler yapmaya teşvik etmek istiyoruz, çünkü günün sonunda STEM her zaman eğlencelidir! Mutlu yapım!

Talimatları beğendiyseniz, sınıf yarışmasına bir oy verin ve yorum bölümünde geri bildiriminizi bırakın.

Sınıf Bilim Yarışmasında Büyük Ödül